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圓錐曲線的解題方法

時(shí)間：2021-12-28 07:16:43 教育我要投稿

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圓錐曲線的解題方法

　　導(dǎo)語：定義中提到的定點(diǎn)，稱為圓錐曲線的焦點(diǎn)；定直線稱為圓錐曲線的準(zhǔn)線；固定的常數(shù)（即圓錐曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離比值）稱為圓錐曲線的離心率；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離稱為焦準(zhǔn)距；焦點(diǎn)到曲線上一點(diǎn)的線段稱為焦半徑。過焦點(diǎn)、平行于準(zhǔn)線的直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)，此兩點(diǎn)間的線段稱為圓錐曲線的通徑，物理學(xué)中又稱為正焦弦。

　　第一、圓錐曲線的解題方法：

　　一、求圓錐曲線方程

　�。�1）軌跡法：設(shè)點(diǎn)建立方程，化簡證明求得。

　　例題：動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)A（3，0）的距離比它到定直線x=—5的距離少2。求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

　　解析：依題意可知，{C}，由題設(shè)知{C}，{C}{C}。

　�。�2）定義法：根據(jù)圓錐曲線的定義確定曲線的形狀。

　　上述例題同樣可以由定義法求出曲線方程：作直線x=—3，則點(diǎn)P到定點(diǎn)A與到定直線x=—3的距離相等，所以點(diǎn)P的軌跡是以A為焦點(diǎn)，以x=—3為準(zhǔn)線的拋物線。

　　（3）待定系數(shù)法：通過題設(shè)條件構(gòu)造關(guān)系式，待定參數(shù)即可。

　　例1：已知點(diǎn)（—2，3）與拋物線{C}的焦點(diǎn)的距離是5，則P=_____。

　　解析：拋物線{C}的焦點(diǎn)為{C}，由兩點(diǎn)間距離公式解得P=4。

　　例2：設(shè)橢圓{C}的右焦點(diǎn)與拋物線{C}的焦點(diǎn)相同，離心率為{C}，則橢圓的方程為_____。

　　解析：拋物線{C}的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），所以橢圓焦半徑為2，故離心率{C}得m=4，而{C}，所以橢圓方程為{C}。

　　二、圓錐曲線最值問題

　�。�1）化為求二次函數(shù)的最值

　　根據(jù)已知條件求出一個(gè)參數(shù)表示的二次函數(shù)解析式，用配方法求出在一定范圍自變量下函數(shù)的最值。

　　例題：曲邊梯形由曲線{C}及直線x=1，x=2所圍成，那么通過曲線上哪一點(diǎn)作切線，能使此切線從曲邊梯形上切出一個(gè)最大面積的普通梯形。

　　解析：設(shè)切點(diǎn){C}，求出切線方程{C}，再求出這條切線與直線x=1，x=2的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，根據(jù)梯形面積公式列出函數(shù)關(guān)系式：梯形面積={C}，從而得出結(jié)論。

　�。�2）利用圓錐曲線性質(zhì)求最值

　　先利用圓錐曲線的定義性質(zhì)列出關(guān)系式，再用幾何或代數(shù)方法求最值。

　　例題：已知雙曲線{C}的右焦點(diǎn)為F，有一點(diǎn)A（9，2）。試在雙曲線上求一點(diǎn)M，使{C}的值最小。

　　解析：設(shè)點(diǎn)M到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d，由雙曲線的第二定義有d={C}，{C}》點(diǎn)A到點(diǎn)M對應(yīng)準(zhǔn)線的距離{C}（點(diǎn)A在對應(yīng)準(zhǔn)線上的投影為點(diǎn)A’）。所以當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M為AA’與雙曲線右支的交點(diǎn)時(shí)，{C}的值最小。

　�。�3）化為一元二次方程，用根的判別式求最值

　　將最值問題轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)未知量的一元二次方程，利用根的判別式求未知量范圍求解。

　　例題：直線y=x+9，橢圓C焦點(diǎn)為F1（—3，0），F(xiàn)2（3，0），求與直線有公共點(diǎn)M的橢圓中最短長軸。

　　解析：直線與橢圓有公共點(diǎn)，根據(jù)題意可聯(lián)立方程組{C}

　　{C}，

　　由條件得{C}，所以橢圓的最短長軸為{C}。

　�。�4）利用不等式求最值

　　列出最值滿足的關(guān)系式，利用平均值不等式中等號成立的條件求最值。在使用平均值不等式求最值時(shí)要滿足三個(gè)條件：①每一項(xiàng)都要取正值；②不等式的一邊為常數(shù)；③等號能夠成立。

　　例題：定長為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線{C}上移動(dòng)，M為AB的中點(diǎn)，則M到y(tǒng)軸的最短距離。

　　解析：設(shè)點(diǎn)A{C}，點(diǎn)B{C}，{C}，

　　{C}，當(dāng)且僅當(dāng){C}時(shí)取得最小值。所以{C}，點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離最小值為{C}。

　　三、直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題

　　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判

　　別式、根與系數(shù)的關(guān)系、求根公式等來處理，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合三大曲線的定義去解。

　　例題1：過點(diǎn)（2，4）作直線與拋物線{C}只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有____條。

　　解析：由于點(diǎn)（2，4）在拋物線上，其次只有一個(gè)公共點(diǎn)，包括直線平行于拋物線的對稱軸，和拋物線交于一點(diǎn)的直線，故有2條。

　　例題2：直線y=kx+1與橢圓{C}恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_____。

　　解析：直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，所以聯(lián)立方程{C}恒成立，即{C}恒成立，所以{C}且{C}。

　　四、求參數(shù)的取值范圍

　　與圓錐曲線有關(guān)的參數(shù)范圍問題常用兩種解法：

　�。�1）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式組得出參數(shù)的變化范圍。

　�。�2）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)、一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個(gè)函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域求參數(shù)的變化范圍。

　　例題：已知點(diǎn)A（2，0）和拋物線{C}上兩點(diǎn)B、C，使得AB⊥BC，求點(diǎn)C縱坐標(biāo)的取值范圍。

　　解析：由于B、C是拋物線上兩個(gè)相關(guān)的點(diǎn)，所以可通過B點(diǎn)縱坐標(biāo)的范圍建立關(guān)于C點(diǎn)縱坐標(biāo)的不等式求解。設(shè)點(diǎn)B{C}，點(diǎn)C{C}，{C}，{C}，

　　{C}，{C}，{C}，{C}，{C}。

　　解得{C}或{C}。

　　五、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程

　�。�1）直接法：直接利用條件建立x，y之間的關(guān)系{C}；

　　如：已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）和直線x=3的距離之和等于4，求P點(diǎn)的軌跡方程。根據(jù)題意直接列式：{C}。

　�。�2）待定系數(shù)法：已知所有曲線的類型，根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由已知條件確定其待定系數(shù)。

　　如：線段AB過x軸正半軸上一點(diǎn)M（m，0）（m>0），端點(diǎn)A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點(diǎn)作拋物線，求此拋物線的方程。

　�。�3）定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

　�。�4）代入轉(zhuǎn)移法：動(dòng)點(diǎn){C}依賴于另一動(dòng)點(diǎn){C}的變化為變化，并且{C}又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示{C}，再將{C}代入已知曲線求得軌跡方程。

　�。�5）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn){C}坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x，y均用一中間變量（參數(shù)）表示，得到參數(shù)方程，再消去參數(shù)得軌跡方程。

　　六、定點(diǎn)定值問題

　　在幾何問題中，有些幾何量和參數(shù)無關(guān)，從而構(gòu)成定值問題，解決這類問題長用取參數(shù)和特殊值來確定定值的多少，或?qū)⒃搯栴}涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式，證明該式是恒定的。這類問題通常有兩種出來方法：

　　（1）從特殊入手，求含變量定點(diǎn)定值，再證明這個(gè)定點(diǎn)定值與變量無關(guān)。

　　（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算的過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)定值。

　　例題：過拋物線{C}的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別為p，q，則{C}的值必等于_____。

　　解析：

　�、倭钪本€與x軸垂直，則直線l：{C} {C}，{C}。

　�、谠O(shè){C}，{C}且PM，QN分別垂直于準(zhǔn)線于M，N。

　　{C}，{C}，{C}的焦點(diǎn){C}，準(zhǔn)線{C}，所以直線l：{C}，又因?yàn)橹本€l與拋物線相交，故聯(lián)立方程組得：{C}，{C}，{C}

　　{C}，{C}，{C}。

　　第二、圓錐曲線的七種題型歸納：

　　（1）中點(diǎn)弦問題