不等式的證明教案

　　在平日的學(xué)習(xí)、工作和生活里，大家都不可避免地要接觸到證明吧，證明是證明某人的身份、經(jīng)歷或某件事情的真實(shí)情況時(shí)所使用的一種憑證。一般證明是怎么起草的呢？以下是小編整理的不等式的證明教案，僅供參考，歡迎大家閱讀。

不等式的證明教案1

　　目的：以不等式的等價(jià)命題為依據(jù)，揭示不等式的常用證明方法之一——比較法，要求學(xué)生能教熟練地運(yùn)用作差、作商比較法證明不等式。

　　過程：

　　一、復(fù)習(xí)：

　　1．不等式的'一個(gè)等價(jià)命題

　　2．比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷——結(jié)論

　　二、作差法：（P13—14）

　　1． 求證：x2 + 3 > 3x

　　證：∵(x2 + 3) - 3x =

　　∴x2 + 3 > 3x

　　2． 已知a, b, m都是正數(shù)，并且a < b，求證：

　　證：

　　∵a,b,m都是正數(shù)，并且a 0 , b - a > 0

　　∴ 即：

　　變式：若a > b，結(jié)果會(huì)怎樣？若沒有“a < b”這個(gè)條件，應(yīng)如何判斷？

　　3． 已知a, b都是正數(shù)，并且a b，求證：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

　　證：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 )

　　= a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)

　　= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)

　　∵a, b都是正數(shù)，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0

　　又∵a b，∴(a - b)2 > 0 ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0

　　即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

　　4． 甲乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，問：甲乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)？

　　解：設(shè)從出發(fā)地到指定地點(diǎn)的路程為S，

　　甲乙兩人走完全程所需時(shí)間分別是t1, t2，

　　則： 可得：

　　∴

　　∵S, m, n都是正數(shù)，且m n，∴t1 - t2 < 0 即：t1 < t2

　　從而：甲先到到達(dá)指定地點(diǎn)。

　　變式：若m = n，結(jié)果會(huì)怎樣？

　　三、作商法

　　5． 設(shè)a, b R+，求證：

　　證：作商：

　　當(dāng)a = b時(shí)，

　　當(dāng)a > b > 0時(shí)，

　　當(dāng)b > a > 0時(shí)，

　　∴ （其余部分布置作業(yè)）

　　作商法步驟與作差法同，不過最后是與1比較。

　　四、小結(jié)：作差、作商。

　　五、作業(yè)： P15 練習(xí)。

　　P18 習(xí)題6.3 1—4。

不等式的證明教案2

　　在前兩節(jié)課的研究當(dāng)中，學(xué)生已掌握了一些簡(jiǎn)單的不等式及其應(yīng)用，并能用不等式及不等式組抽象出實(shí)際問題中的不等量關(guān)系，掌握了不等式的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)與證明，研究了一元二次不等式及其解法，學(xué)習(xí)了二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題。本節(jié)課的研究是前三大節(jié)學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展。另外，為基本不等式的應(yīng)用墊定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，所以說，本節(jié)課是起到了承上啟下的作用。本節(jié)課是通過讓學(xué)生觀察第２４屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)圖案中隱含的相等關(guān)系與不等關(guān)系而引入的通過分析得出基本不等式，然后從三種角度對(duì)基本不等式展開證明及對(duì)基本不等式展開一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用,進(jìn)而更深一層次地從理性角度建立不等觀念。教師應(yīng)作好點(diǎn)撥，利用幾何背景，數(shù)形結(jié)合做好歸納總結(jié)、邏輯分析，并鼓勵(lì)學(xué)生從理性角度去分析探索過程，進(jìn)而更深層次理解基本不等式，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法獲得過程的探索，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，

　　根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用觀察、類比、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，進(jìn)行啟發(fā)、探究式教學(xué)并使用投影儀輔助。

　　教學(xué)重點(diǎn)

　　1、創(chuàng)設(shè)代數(shù)與幾何背景，用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式；

　　2、從不同角度探索基本不等式的證明過程；

　　3、從基本不等式的證明過程進(jìn)一步體會(huì)不等式證明的常用思路。

　　教學(xué)難點(diǎn)

　　1、對(duì)基本不等式從不同角度的探索證明；

　　2、通過基本不等式的證明過程體會(huì)分析法的證明思路。

　　教具準(zhǔn)備 多媒體及課件

　　三維目標(biāo)

　　一、知識(shí)與技能

　　1、創(chuàng)設(shè)用代數(shù)與幾何兩方面背景，用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式；

　　2、嘗試讓學(xué)生從不同角度探索基本不等式的證明過程；

　　3、從基本不等式的證明過程進(jìn)一步體會(huì)不等式證明的常用思路，即由條件到結(jié)論，或由結(jié)論到條件。

　　二、過程與方法

　　1、采用探究法，按照聯(lián)想、思考、合作交流、邏輯分析、抽象應(yīng)用的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)；

　　2、教師提供問題、素材，并及時(shí)點(diǎn)撥，發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用；

　　3、將探索過程設(shè)計(jì)為較典型的具有挑戰(zhàn)性的問題，激發(fā)學(xué)生去積極思考，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

　　三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

　　1、通過具體問題的解決，讓學(xué)生去感受、體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等量關(guān)系并需要從理性的角度去思考，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行歸納、抽象，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)、走進(jìn)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維習(xí)慣；

　　2、學(xué)習(xí)過程中，通過對(duì)問題的探究思考，廣泛參與，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，主動(dòng)、積極的學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量；

　　3、通過對(duì)富有挑戰(zhàn)性問題的解決，激發(fā)學(xué)生頑強(qiáng)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，同時(shí)去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘、數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)美，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

　　教學(xué)過程

　　導(dǎo)入新課

　　探究：上圖是在北京召開的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客，你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？

　�。ń處熡猛队皟x給出第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，并介紹此會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。通過直觀情景導(dǎo)入有利于吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，并增強(qiáng)學(xué)生的愛國(guó)主義熱情）

　　推進(jìn)新課

　　師 同學(xué)們能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？如何找？

　　（沉靜片刻）

　　生 應(yīng)該先從此圖案中抽象出幾何圖形。

　　師 此圖案中隱含什么樣的幾何圖形呢？哪位同學(xué)能在黑板上畫出這個(gè)幾何圖形？

　�。ㄕ�(qǐng)兩位同學(xué)在黑板上畫。教師根據(jù)兩位同學(xué)的板演作點(diǎn)評(píng)）

　�。ㄆ渲兴膫�(gè)直角三角形沒有畫全等，不形象、直觀。此時(shí)教師用投影片給出隱含的規(guī)范的幾何圖形）

　　師 同學(xué)們觀察得很細(xì)致，抽象出的幾何圖形比較準(zhǔn)確。這說明，我們只要在現(xiàn)有的基礎(chǔ)上進(jìn)一步刻苦努力，發(fā)奮圖強(qiáng)，也能作出和數(shù)學(xué)家趙爽一樣的成績(jī)。

　�。ù藭r(shí)，每一位同學(xué)看上去都精神飽滿，信心百倍，全神貫注地投入到本節(jié)課的學(xué)習(xí)中來）

　　［過程引導(dǎo)］

　　師 設(shè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b，那么，四個(gè)直角三角形的面積之和與正方形的面積有什么關(guān)系呢？

　　生 顯然正方形的面積大于四個(gè)直角三角形的面積之和。

　　師 一定嗎？

　�。ù蠹引R聲：不一定，有可能相等）

　　師 同學(xué)們能否用數(shù)學(xué)符號(hào)去進(jìn)行嚴(yán)格的推理證明，從而說明我們剛才直覺思維的合理性？

　　生 每個(gè)直角三角形的面積為，四個(gè)直角三角形的面積之和為2ab。正方形的邊長(zhǎng)為，所以正方形的面積為a2+b2，則a2+b2≥2ab。

　　師 這位同學(xué)回答得很好，表達(dá)很全面、準(zhǔn)確，但請(qǐng)大家思考一下，他對(duì)a2+b2≥2ab證明了嗎？

　　生 沒有，他仍是由我們剛才的直觀所得，只是用字母表達(dá)一下而已。

　　師 回答得很好。

　�。ㄓ械耐瑢W(xué)感到迷惑不解）

　　師 這樣的敘述不能代替證明。這是同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)經(jīng)常會(huì)犯的錯(cuò)誤。實(shí)質(zhì)上，對(duì)文字性語言敘述證明題來說，他只是寫出了已知、求證，并未給出證明。

　�。ㄓ械耐瑢W(xué)竊竊私語，確實(shí)是這樣，并沒有給出證明）

　　師 請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考，該如何證明此不等式，即a2+b2≥2ab。

　　生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一個(gè)完全平方數(shù)，它是非負(fù)數(shù)，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab。

　　師 同學(xué)們思考一下，這位同學(xué)的證明是否正確？

　　生 正確。

　�。劢處熅�講］

　　師 這位同學(xué)的證明思路很好。今后，我們把這種證明不等式的思想方法形象地稱之為“比較法”，它和根據(jù)實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小是否一樣。

　　生 實(shí)質(zhì)一樣，只是設(shè)問的形式不同而已。一個(gè)是比較大小，一個(gè)是讓我們?nèi)プC明。

　　師 這位同學(xué)回答得很好，思維很深刻。此處的比較法是用差和0作比較。在我們的.數(shù)學(xué)研究當(dāng)中，還有另一種“比較法”。

　　（教師此處的設(shè)問是針對(duì)學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)而言）

　　生 作商，用商和“1”比較大小。

　　師 對(duì)。那么我們?cè)谟龅竭@類問題時(shí)，何時(shí)采用作差，何時(shí)采用作商呢？這個(gè)問題讓同學(xué)們課后去思考，在解決問題中自然會(huì)遇到。

　　（此處設(shè)置疑問，意在激發(fā)學(xué)生課后去自主探究問題，把探究的思維空間切實(shí)留給學(xué)生）

　�。酆献魈骄浚�

　　師 請(qǐng)同學(xué)們?cè)僮屑?xì)觀察一下，等號(hào)何時(shí)取到。

　　生 當(dāng)四個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)重合時(shí)，即面積相等時(shí)取等號(hào)。

　�。▽W(xué)生的思維仍建立在感性思維基礎(chǔ)之上，教師應(yīng)及時(shí)點(diǎn)撥）

　　師 從不等式a2+b2≥2ab的證明過程能否去說明。

　　生 當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)2=0，即a=b時(shí)，取等號(hào)。

　　師 這位同學(xué)回答得很好。請(qǐng)同學(xué)們看一下，剛才兩位同學(xué)分別從幾何圖形與不等式兩個(gè)角度分析等號(hào)成立的條件是否一致。

　　（大家齊聲）一致。

　　（此處意在強(qiáng)化學(xué)生的直覺思維與理性思維要合并使用。就此問題來講，意在強(qiáng)化學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用）

　　板書：

　　一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。

　　［過程引導(dǎo)］

　　師 這是一個(gè)很重要的不等式。對(duì)數(shù)學(xué)中重要的結(jié)論，我們應(yīng)仔細(xì)觀察、思考，才能挖掘出它的內(nèi)涵與外延。只有這樣，我們用它來解決問題時(shí)才能得心應(yīng)手，也不會(huì)出錯(cuò)。

　�。ㄍ瑢W(xué)們的思維再一次高度集中，似乎能從不等式a2+b2≥2ab中得出什么。此時(shí)，教師應(yīng)及時(shí)點(diǎn)撥、指引）

　　師 當(dāng)a＞0,b＞0時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b。

　　生 完全可以。

　　師 為什么？

　　生 因?yàn)椴坏仁街械腶、b∈R。

　　師 很好，我們來看一下代替后的結(jié)果。

　　板書：

　　即 (a＞0,b＞0)。

　　師 這個(gè)不等式就是我們這節(jié)課要推導(dǎo)的基本不等式。它很重要，在數(shù)學(xué)的研究中有很多應(yīng)用，我們常把叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，把a(bǔ)b叫做正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)，即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

　　（此處意在引起學(xué)生的重視，從不同的角度去理解）

　　師 請(qǐng)同學(xué)們嘗試一下，能否利用不等式及實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)來推導(dǎo)出這個(gè)不等式呢？

　�。ù藭r(shí)，同學(xué)們信心十足，都說能。教師利用投影片展示推導(dǎo)過程的填空形式）

　　要證：，①

　　只要證a+b≥2，②

　　要證②，只要證：a+b-2≥0，③

　　要證③，只要證：④

　　顯然④是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，④中的等號(hào)成立，這樣就又一次得到了基本不等式。

　�。ù颂幰蕴羁盏男问�,突出體現(xiàn)了分析法證明的關(guān)鍵步驟，意在把思維的時(shí)空切實(shí)留給學(xué)生，讓學(xué)生在探究的基礎(chǔ)上去體會(huì)分析法的證明思路，加大了證明基本不等式的探究力度）

　�。酆献魈骄浚�

　　老師用投影儀給出下列問題。

　　如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a,BC=b。過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DD′，連結(jié)AD、BD。你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？

　�。ū竟�(jié)課開展到這里，學(xué)生從基本不等式的證明過程中已體會(huì)到證明不等式的常用方法，對(duì)基本不等式也已經(jīng)很熟悉，這就具備了探究這個(gè)問題的知識(shí)與情感基礎(chǔ)）

　�。酆献魈骄浚�

　　師 同學(xué)們能找出圖中與a、b有關(guān)的線段嗎？

　　生 可證△ACD ∽△BCD,所以可得。

　　生 由射影定理也可得。

　　師 這兩位同學(xué)回答得都很好，那ab與分別又有什么幾何意義呢？

　　生表示半弦長(zhǎng)，表示半徑長(zhǎng)。

　　師 半徑和半弦又有什么關(guān)系呢？

　　生 由半徑大于半弦可得。

　　師 這位同學(xué)回答得是否很嚴(yán)密？

　　生 當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即當(dāng)a=b時(shí)可取等號(hào)，所以也可得出基本不等式 (a＞0,b＞0)。

　　課堂小結(jié)

　　師 本節(jié)課我們研究了哪些問題？有什么收獲？

　　生 我們通過觀察分析第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)得出了不等式a2+b2≥2ab。

　　生 由a2+b2≥2ab,當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，以、分別代替a、b，得到了基本不等式 (a＞0,b＞0)。進(jìn)而用不等式的性質(zhì)，由結(jié)論到條件，證明了基本不等式。

　　生 在圓這個(gè)幾何圖形中我們也能得到基本不等式。

　　（此處，創(chuàng)造讓學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)的機(jī)會(huì)，目的是培養(yǎng)學(xué)生語言表達(dá)能力，也有利于課外學(xué)生歸納、總結(jié)等學(xué)習(xí)方法、能力的提高）

　　師 大家剛才總結(jié)得都很好，本節(jié)課我們從實(shí)際情景中抽象出基本不等式。并采用數(shù)形結(jié)合的思想，賦予基本不等式幾何直觀，讓大家進(jìn)一步領(lǐng)悟到基本不等式成立的條件是a＞0，b＞0，及當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。在對(duì)不等式的證明過程中，體會(huì)到一些證明不等式常用的思路、方法。以后，同學(xué)們要注意數(shù)形結(jié)合的思想在解題中的靈活運(yùn)用。

　　布置作業(yè)

　　活動(dòng)與探究：已知a、b都是正數(shù)，試探索, ,,的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

　　分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表達(dá)式的大小關(guān)系，再由不等式及實(shí)數(shù)的性質(zhì)證明。

　�。ǚ椒ǘ�）創(chuàng)設(shè)幾何直觀情景。設(shè)AC=a,BC=b，用a、b表示線段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的長(zhǎng)度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得。

　　板書設(shè)計(jì)

　　基本不等式的證明

　　一、實(shí)際情景引入得到重要不等式

　　a2＋b2≥2ab

　　二、定理

　　若a＞0，b＞0

　　課后作業(yè)：

　　證明過程探索：

不等式的證明教案3

　　一、教學(xué)目標(biāo)

　　1、掌握分析法證明不等式；

　　2、理解分析法實(shí)質(zhì)??執(zhí)果索因；

　　3、提高證明不等式證法靈活性.

　　二、教學(xué)重點(diǎn)

　　分析法

　　三、教學(xué)難點(diǎn)

　　分析法實(shí)質(zhì)的理解

　　四、教學(xué)方法

　　啟發(fā)引導(dǎo)式

　　五、教學(xué)活動(dòng)

　　（一）導(dǎo)入新課

　�。ń處熁顒�(dòng)）教師提出問題，待學(xué)生回答和思考后點(diǎn)評(píng)、

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）回答和思考教師提出的問題、

　�。蹎栴}1］我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？

　　［問題2］能否用比較法或綜合法證明不等式：

　　[點(diǎn)評(píng)]在證明不等式時(shí)，若用比較法或綜合法難以下手時(shí)，可采用另一種證明方法：分析法、（板書課題）

　　設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)已學(xué)證明不等式的方法、指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，

　　激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新的證明不等式知識(shí)的積極性，導(dǎo)入本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容：用分析法證明不等式、

　�。ǘ�）新課講授

　　嘗試探索、建立新知：

　�。ń處熁顒�(dòng)）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系，然后提出問題供學(xué)生研究，并點(diǎn)評(píng)、幫助學(xué)生建立分析法證明不等式的知識(shí)體系、投影分析法證明不等式的概念、

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析綜合法的邏輯關(guān)系，在教師啟發(fā)、引導(dǎo)下嘗試探索，構(gòu)建新知、

　　[講解]綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結(jié)論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的`不等式、

　�。蹎栴}1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結(jié)論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？

　�。蹎栴}2］當(dāng)我們尋找的充分條件已經(jīng)是成立的不等式時(shí)，說明了什么呢？

　�。蹎栴}3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？

　�。埸c(diǎn)評(píng)］從要證明的結(jié)論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結(jié)論成立、就是分析法的邏輯關(guān)系、

　　[投影]分析法證明不等式的概念、（見課本）

　　設(shè)計(jì)意圖：對(duì)比綜合法的邏輯關(guān)系，教師層層設(shè)置問題，激發(fā)學(xué)生積極思考、研究、建立新的知識(shí)；分析法證明不等式、培養(yǎng)學(xué)習(xí)創(chuàng)新意識(shí)、

　　例題示范、學(xué)會(huì)應(yīng)用：

　�。ń處熁顒�(dòng)）教師板書或投影例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)用分析法證明不等式，并點(diǎn)評(píng)用分析法證明不等式必須注意的問題、

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師引導(dǎo)下，研究問題，與教師一道完成問題的論證、

不等式的證明教案4

　　教學(xué)目標(biāo)

　　1．掌握分析法證明不等式；

　　2．理解分析法實(shí)質(zhì)——執(zhí)果索因；

　　3．提高證明不等式證法靈活性.

　　教學(xué)重點(diǎn)分析法

　　教學(xué)難點(diǎn)分析法實(shí)質(zhì)的理解

　　教學(xué)方法啟發(fā)引導(dǎo)式

　　教學(xué)活動(dòng)

　　（一）導(dǎo)入新課

　�。ń處熁顒�(dòng)）教師提出問題，待學(xué)生回答和思考后點(diǎn)評(píng)．

　　（學(xué)生活動(dòng)）回答和思考教師提出的問題．

　�。蹎栴}1］我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？

　�。蹎栴}2］能否用比較法或綜合法證明不等式：

　　[點(diǎn)評(píng)]在證明不等式時(shí)，若用比較法或綜合法難以下手時(shí)，可采用另一種證明方法：分析法．（板書課題）

　　設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)已學(xué)證明不等式的方法．指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新的證明不等式知識(shí)的積極性，導(dǎo)入本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容：用分析法證明不等式．

　�。ǘ�）新課講授

　　【嘗試探索、建立新知】

　�。ń處熁顒�(dòng)）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系，然后提出問題供學(xué)生研究，并點(diǎn)評(píng)．幫助學(xué)生建立分析法證明不等式的知識(shí)體系．投影分析法證明不等式的概念．

　　（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析綜合法的邏輯關(guān)系，在教師啟發(fā)、引導(dǎo)下嘗試探索，構(gòu)建新知．

　　[講解]綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結(jié)論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式．

　�。蹎栴}1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結(jié)論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？

　　［問題2］當(dāng)我們尋找的充分條件已經(jīng)是成立的不等式時(shí)，說明了什么呢？

　�。蹎栴}3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？

　�。埸c(diǎn)評(píng)］從要證明的結(jié)論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結(jié)論成立．就是分析法的邏輯關(guān)系．

　　[投影]分析法證明不等式的概念．（見課本）

　　設(shè)計(jì)意圖：對(duì)比綜合法的邏輯關(guān)系，教師層層設(shè)置問題，激發(fā)學(xué)生積極思考、研究．建立新的知識(shí)；分析法證明不等式．培養(yǎng)學(xué)習(xí)創(chuàng)新意識(shí)．

　　【例題示范、學(xué)會(huì)應(yīng)用】

　�。ń處熁顒�(dòng)）教師板書或投影例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)用分析法證明不等式，并點(diǎn)評(píng)用分析法證明不等式必須注意的問題．

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師引導(dǎo)下，研究問題，與教師一道完成問題的論證．

　　例1求證

　　[分析］此題用比較法和綜合法都很難入手，應(yīng)考慮用分析法．

　　證明：（見課本）

　　[點(diǎn)評(píng)]證明某些含有根式的不等式時(shí)，用綜合法比較困難．此例中，我們很難想到從“”入手，因此，在不等式的證明中，分析法占有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思維方法，事實(shí)上，有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎(chǔ)上，分析法的優(yōu)越性正體現(xiàn)在此．

　　例2已知：，求證：（用分析法）請(qǐng)思考下列證法有沒有錯(cuò)誤？若有錯(cuò)誤，錯(cuò)在何處？

　�。弁队埃葑C法一：因?yàn)椋�所以、去分母，化為，就是．由已知成立，所以求證的不等式成立．

　　證法二：欲證，因?yàn)?/p>

　　只需證，即證，即證

　　因?yàn)槌闪�，所以成立�?/p>

　�。ㄗC法二正確，證法一錯(cuò)誤．錯(cuò)誤的原因是：雖然是從結(jié)論出發(fā)，但不是逐步逆戰(zhàn)結(jié)論成立的充分條件，事實(shí)上找到明顯成立的不等式是結(jié)論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯(cuò)誤．）

　　[點(diǎn)評(píng)]①用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

　　（結(jié)論）（步步尋找不等式成立的充分條件）（結(jié)論）

　　分析法是“執(zhí)果索因”，它與綜合法的證明過程（由因?qū)Ч�）恰恰相反．②用分析法證明時(shí)要注意書寫格式．分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的書寫格式是：

　　要證命題B為真，只需證明為真，從而有……

　　這只需證明為真，從而又有……

　　……

　　這只需證明A為真．

　　而已知A為真，故命題B必為真．

　　要理解上述格式中蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系．

　　[投影]例3證明：通過水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面（指橫截面，下同）的周長(zhǎng)相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大．

　�。鄯治觯菰O(shè)未知數(shù)，列方程，因?yàn)楫?dāng)水的流速相同時(shí)，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設(shè)截面的周長(zhǎng)為，則周長(zhǎng)為的圓的半徑為，截面積為；周長(zhǎng)為的正方形邊長(zhǎng)為，截面積為，所以本題只需證明：

　　證明：（見課本）

　　設(shè)計(jì)意圖：理解分析法與綜合法的內(nèi)在聯(lián)系，說明分析法在證明不等式中的重要地位．掌

　　握分析法證明不等式，特別重視分析法證題格式及格式中蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系．靈活掌握分析法的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．

　　【課堂練習(xí)】

　　（教師活動(dòng)）打出字幕（練習(xí)），請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)板演，巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正．點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題．

　　（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演．

　　【字幕】練習(xí)1．求證

　　2．求證：

　　設(shè)計(jì)意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)．

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　�。ń處熁顒�(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小給用分析法證明不等式的'解題方法．

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記．

　　1．分析法是證明不等式的一種常用基本方法．當(dāng)證題不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決，特別是對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效的．

　　2．用分析法證明不等式時(shí)，要正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)逆找充分條件，注意分析法的證題格式．

　　設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法．

　�。ㄈ�）小結(jié)

　�。ń處熁顒�(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)．

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記．

　　本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了用分析法證明不等式．應(yīng)用分析法證明不等式時(shí)，掌握一些常用技巧：

　　通分、約分、多項(xiàng)式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等．在使用這些技巧變形時(shí)，要注意遵循不等式的性質(zhì)．另外還要適當(dāng)掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、三角公式在逆推中的靈活運(yùn)用．理解分析法和綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面．有時(shí)可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結(jié)合，共同完成證明過程．

　　設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí)．

　�。ㄋ模┎贾米鳂I(yè)

　　1．課本作業(yè)：P174、5．

　　2．思考題：若，求證

　　3．研究性題：已知函數(shù)，若、，且證明

　　設(shè)計(jì)意圖：思考題供學(xué)有余力同學(xué)練習(xí)，研究性題供學(xué)生研究分析法證明有關(guān)問題．

　�。ㄎ澹┱n后點(diǎn)評(píng)

　　教學(xué)過程是不斷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的思維過程．本節(jié)課在形成分析法證明不等式認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，教師提出問題或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，然后開拓學(xué)生思路，啟迪學(xué)生智慧，求得問題解決．一個(gè)問題解決后，及時(shí)地提出新問題，提高學(xué)生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質(zhì)，把學(xué)生的思維步步引向深入，直到完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)．總之，本節(jié)課的教學(xué)安排是讓學(xué)生的思維由問題開始，到問題深化，始終處于積極主動(dòng)狀態(tài)．

　　本節(jié)課練中有講，講中有練，講練結(jié)合．在講與練的互相作用下，使學(xué)生的思維逐步深化．教師提出的問題和例題，先由學(xué)生自己研究，然后教師分析與概括．在教師講解中，又不斷讓學(xué)生練習(xí)，力求在練習(xí)中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法．

　　在安排本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容時(shí)，按認(rèn)識(shí)規(guī)律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生形成有序的知識(shí)結(jié)構(gòu)．

　　作業(yè)答案：

　　思考題：

　　因?yàn)椋�故，所以成立�?/p>

　　研究性題：令，則：

　　故原不等式等價(jià)于

　　由已知有xxx。所以上式等價(jià)于，即。所以又等價(jià)于．因?yàn)�，上式成立，所以原不等式成立�?/p>

　　不等式的實(shí)際解釋

　　題目：不等式：是正數(shù)，且，則。可以給出一個(gè)具有實(shí)際背景的解釋：在溶液里加溶質(zhì)則濃度增加，即個(gè)單位溶液中含有個(gè)單位的溶質(zhì)，其濃度小于加入個(gè)單位溶質(zhì)后的溶液濃度，請(qǐng)你仿照此例，給出兩個(gè)不等式的解釋。

　　分析與解

　　1．先看問題中的不等式，建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，并且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好。我們知道如果同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，那么住宅的條件變好。

　　設(shè)地板面積為平方米，窗戶面積為平方米，若窗戶面積和地板面積同時(shí)增加相等的平方米，住宅的采光條件變好了，即有

　　2．是正數(shù)，不等式可以推出，我們可以用混合溶液來解釋：兩個(gè)不同濃度的溶液混合后，其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。

　　3．電阻串并聯(lián)。電阻值為、的電阻，串聯(lián)電阻為，并聯(lián)電阻為，串聯(lián)電阻變大，并聯(lián)電阻變小，因此有不等式，即

　　說明許多數(shù)學(xué)結(jié)論是由實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題后，通過數(shù)學(xué)的運(yùn)算演變得到的。反過來，把抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際解釋也是一種數(shù)學(xué)運(yùn)用，值得大家關(guān)注。

不等式的證明教案5

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1．進(jìn)一步熟練掌握比較法證明不等式；

　　2．了解作商比較法證明不等式；

　　3．提高學(xué)生解題時(shí)應(yīng)變能力.

　　教學(xué)重點(diǎn)：

　　比較法的應(yīng)用

　　教學(xué)難點(diǎn)：

　　常見解題技巧

　　教學(xué)方法啟發(fā)引導(dǎo)式

　　教學(xué)活動(dòng)

　�。ㄒ唬�導(dǎo)入新課

　�。ń處熁顒�(dòng)）教師打出字幕（復(fù)習(xí)提問），請(qǐng)三位同學(xué)回答問題，教師點(diǎn)評(píng)．

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）思考問題，回答．

　�。圩帜唬�1．比較法證明不等式的步驟是怎樣的？

　　2．比較法證明不等式的步驟中，依據(jù)、手段、目的各是什么？

　　3．用比較法證明不等式的步驟中，最關(guān)鍵的是哪一步？學(xué)了哪些常用的變形方法？對(duì)式子的變形還有其它方法嗎？

　　[點(diǎn)評(píng)]用比較法證明不等式步驟中，關(guān)鍵是對(duì)差式的變形．在我們所學(xué)的知識(shí)中，對(duì)式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解．這節(jié)課我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)比較法證明不等式，積累對(duì)差式變形的常用方法和比較法思想的應(yīng)用．（板書課題）

　　設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)鞏固已學(xué)知識(shí)，銜接新知識(shí)，引入本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容．

　�。ǘ�）新課講授

　　【嘗試探索，建立新知】

　�。ń處熁顒�(dòng)）提出問題，引導(dǎo)學(xué)生研究解決問題，并點(diǎn)評(píng)．

　　（學(xué)生活動(dòng)）嘗試解決問題．

　　[問題]

　　1．化簡(jiǎn)

　　2．比較與（）的大�。�

　　（學(xué)生解答問題）

　�。埸c(diǎn)評(píng)］

　�、賳栴}1，我們采用了因式分解的方法進(jìn)行簡(jiǎn)化．

　　②通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，我們不難發(fā)現(xiàn)，比較法的思想方法還可用來比較兩個(gè)式子的大�。�

　　設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)�發(fā)學(xué)生研究問題，建立新知，形成新的知識(shí)體系．

　　【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】

　�。ń處熁顒�(dòng)）教師打出字幕（例題），引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生研究問題，井點(diǎn)評(píng)解題過程．

　　（學(xué)生活動(dòng)）分析，研究問題．

　�。圩帜唬堇�題3已知 a ， b 是正數(shù)，且，求證

　　［分析］依題目特點(diǎn)，作差后重新組項(xiàng)，采用因式分解來變形．

　　證明：（見課本）

　�。埸c(diǎn)評(píng)］因式分解也是對(duì)差式變形的一種常用方法．此例將差式變形為幾個(gè)因式的積的形式，在確定符號(hào)中，表達(dá)過程較復(fù)雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個(gè)好的示范．

　�。埸c(diǎn)評(píng)］解這道題在判斷符號(hào)時(shí)用了分類討論，分類討論是重要的數(shù)學(xué) 思想方法．要理解為什么分類，怎樣分類．分類時(shí)要不重不漏．

　　［字幕］例5甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一條路線走到同一地點(diǎn)．甲有一半時(shí)間以速度 m 行走，另一半時(shí)間以速度 n 行走；有一半路程乙以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走，如果，問甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)．

　　[分析]設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為，甲、乙兩人走完這段路程用的時(shí)間分別為，要回答題目中的問題，只要比較、的大小就可以了．

　　解：（見課本）

　　［點(diǎn)評(píng)］此題是一個(gè)實(shí)際問題，學(xué)習(xí)了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關(guān)實(shí)際問題．要培養(yǎng)自己學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的良好品質(zhì)．

　　設(shè)計(jì)意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號(hào)的方法．培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．

　　【課堂練習(xí)】

　�。ń處熁顒�(dòng)）教師打出字幕練習(xí)，要求學(xué)生獨(dú)立思考，完成練習(xí)；請(qǐng)甲、乙兩位學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正；點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題．

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演．

　�。圩帜唬菥毩�(xí)：1．設(shè)，比較與的大�。�

　　2．已知，求證

　　設(shè)計(jì)意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應(yīng)用．靈活掌握因式分解法對(duì)差式的變形和分類討論確定符號(hào)．反饋信息，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)．

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　　（教師活動(dòng)）分析歸納例題的解題過程，小結(jié)對(duì)差式變形、確定符號(hào)的常用方法和利用不等式解決實(shí)際問題的解題步驟．

　　（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上．

　　1．比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個(gè)式子大小的一種重要方法．

　　2．對(duì)差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．

　　3．會(huì)用分類討論的方法確定差式的符號(hào)．

　　4．利用不等式解決實(shí)際問題的解題步驟：①類比列方程解應(yīng)用題的步驟．②分析題意，設(shè)未知數(shù)，找出數(shù)量關(guān)系（函數(shù)關(guān)系，相等關(guān)系或不等關(guān)系），③列出函數(shù)關(guān)系、等式或不等式，④求解，作答．

　　設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識(shí)體系．

　�。ㄈ�）小結(jié)

　�。ń處熁顒�(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)及數(shù)學(xué) 思想與方法．

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記．

　　本節(jié)課學(xué)習(xí)了對(duì)差式變形的.一種常用方法因式分解法；對(duì)符號(hào)確定的分類討論法；應(yīng)用比較法的思想解決實(shí)際問題．

　　通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據(jù)，理解轉(zhuǎn)化，使問題簡(jiǎn)化是比較法證明不等式中所蘊(yùn)含的重要數(shù)學(xué)思想，掌握求差后對(duì)差式變形以及判斷符號(hào)的重要方法，并在以后的學(xué)習(xí)中繼續(xù)積累方法，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．

　　設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)的知識(shí)，領(lǐng)會(huì)化歸、類比、分類討論的重要數(shù)學(xué) 思想方法．

　　（四）布置作業(yè)

　　1．課本作業(yè)：P17 7、8。

　　2，思考題：已知，求證

　　3．研究性題：對(duì)于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時(shí)間和船在靜水中來回行駛一次的時(shí)間是否相等？（假設(shè)船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）

　　設(shè)計(jì)意圖：思考題讓學(xué)生了解商值比較法，掌握分類討論的思想．研究性題是使學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力．

　�。ㄎ澹┱n后點(diǎn)評(píng)

　　1．教學(xué)評(píng)價(jià)、反饋調(diào)節(jié)措施的構(gòu)想：本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，通過啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，解決問題，反饋學(xué)習(xí)信息，調(diào)節(jié)教學(xué)活動(dòng)．

　　2．教學(xué)措施的設(shè)計(jì)：由于對(duì)差式變形，確定符號(hào)是掌握比較法證明不等式的關(guān)鍵，本節(jié)課在上節(jié)課的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)差式變形的方法和符號(hào)的確定，例3和例4分別使學(xué)生掌握因式分解變形和分類討論確定符號(hào)，例5使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)會(huì)應(yīng)用．例題設(shè)計(jì)目的在于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，學(xué)會(huì)應(yīng)用

不等式的證明教案6

　　教學(xué)目標(biāo)

　�。�1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；

　　（2）掌握用比較法、綜合法和分析法來證簡(jiǎn)單的不等式；

　　（3）能靈活根據(jù)題目選擇適當(dāng)?shù)刈C明方法來證不等式；

　　（4）能用不等式證明的方法解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；

　�。�6）通過不等式證明，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力；

　�。�7）通過組織學(xué)生對(duì)不等式證明方法的意義和應(yīng)用的參與，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣．

　　教學(xué)建議

　�。ㄒ唬┙滩姆治�

　　1．知識(shí)結(jié)構(gòu)

　　2．重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

　　重點(diǎn)：不等式證明的主要方法的意義和應(yīng)用；

　　難點(diǎn)：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；

　�、诰C合性問題選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法．

　�。�1）不等式證明的意義

　　不等式的證明是要證明對(duì)于滿足條件的所有數(shù)都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數(shù)值去驗(yàn)證式子是否成立．

　�。�2）比較法證明不等式的分析

　　①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法．

　�、谧C明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑．

　　由于，因此，證明，可轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的．這種證法就是求差比較法．

　　由于當(dāng)時(shí)，，因此，證明 可以轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的 ．這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明不等式時(shí)，一定要注意的前提條件．

　�、矍蟛畋容^法的基本步驟是：“作差——變形——斷號(hào)”．

　　其中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號(hào)才是目的．

　　變形的目的全在于判斷差的符號(hào)，而不必考慮差值是多少．

　　變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，為此，有時(shí)把差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)數(shù)的平方和的形式．或者變形為一個(gè)分式，或者變形為幾個(gè)因式的積的形式等． 總之．能夠判斷出差的符號(hào)是正或負(fù)即可．

　�、茏魃瘫容^法的基本步驟是：“作商——變形——判斷商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于不等號(hào)兩側(cè)的式子同號(hào)的不等式的證明．

　�。�3）綜合法證明不等式的分析

　　①利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推倒出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法．

　�、诰C合法的思路是“由因?qū)Ч�”：從已知的不等式出發(fā)，通過一系列的推出變換，推倒出求證的不等式．

　�、劬C合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

　　…．

　　（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論）

　�、芾�用綜合法由因?qū)Ч�證明不等式，就要揭示出條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯(lián)系、不等式左右兩端的差異和聯(lián)系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應(yīng)用已知條件，進(jìn)行有效的變換是證明不等式的關(guān)鍵．

　�。�4）分析法證明不等式的分析

　�、購那笞C的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法．

　　有時(shí)，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個(gè)已知成立的不等式，只要這個(gè)推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立．這也是用分析法，注意應(yīng)強(qiáng)調(diào)“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據(jù)．

　�、诜治龇ǖ乃悸肥恰皥�(zhí)果導(dǎo)因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件直至已成立的不等式．它與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法．

　�、塾梅治龇ㄗC明不等式的邏輯關(guān)系是：

　　…．

　�。ㄒ阎�）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論）

　　④分析法是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，一是難在初學(xué)時(shí)不易理解它的本質(zhì)是從結(jié)論分析出使結(jié)論成立的“充分”條件，二是不易正確使用連接有關(guān)（分析推理）步驟的關(guān)鍵詞．如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定……成立”等．

　�、莘治龇ㄊ亲C明不等式時(shí)一種常用的基本方法．當(dāng)證明不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決．特別對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效．

　　（5）關(guān)于分析法與綜合法

　�、俜治龇ㄅc綜合法是思維方向相反的兩種思考方法．

　　②在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件．即推理方向是：結(jié)論已知．

　　綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題．即：已知結(jié)論．

　�、鄯治龇ǖ奶攸c(diǎn)是：從“結(jié)論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找結(jié)論的充分條件．

　　綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找已知的必要條件．

　�、芨饔衅鋬�(yōu)缺點(diǎn)：

　　從尋求解題思路來看：分析法是執(zhí)果索因，利于思考，方向明確，思路自然，有希望成功；綜合法由因?qū)Ч�，往往枝�?jié)橫生，不容易達(dá)到所要證明的結(jié)論．

　　從書寫表達(dá)過程而論：分析法敘述繁鎖，文辭冗長(zhǎng)；綜合法形式簡(jiǎn)潔，條理清晰．

　　也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá)．

　�、菀话銇碚f，對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接運(yùn)用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫又比較麻煩．因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的．

　�。ǘ�）教法建議

　　①選擇例題和習(xí)題要注意層次性．

　　不等式證明的三種方法主要是通過例題來說明的．教師在教學(xué)中要注意例題安排要由易到難，由簡(jiǎn)單到綜合，層層深入，啟發(fā)學(xué)生理解各種證法的意義和邏輯關(guān)系．教師選擇的訓(xùn)練題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當(dāng)．

　　要堅(jiān)持精講精練的原則．通過一題多法和多變挖掘各種方法的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)知識(shí)進(jìn)行拓展、延伸，使學(xué)生溝通知識(shí)，有效地提高解題能力．

　�、谠�教學(xué)過程中，應(yīng)通過精心設(shè)置的一個(gè)個(gè)問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生在課堂活動(dòng)中積極參與．

　　通過學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)，理解不等式證明方法的實(shí)質(zhì)和幾種證明方法的意義，通過訓(xùn)練積累經(jīng)驗(yàn)，能夠總結(jié)出比較法的.實(shí)質(zhì)是把實(shí)數(shù)的大小順序通過實(shí)數(shù)運(yùn)算變成一個(gè)數(shù)與0(或1)比較大小；復(fù)雜的習(xí)題能夠利用綜合法發(fā)展條件向結(jié)論方向轉(zhuǎn)化，利用分析法能夠把結(jié)論向條件靠攏，最終達(dá)到結(jié)合點(diǎn)，從而解決問題．

　�、蹖W(xué)生素質(zhì)較好的，教師可在教學(xué)中適當(dāng)增加反證法和用函數(shù)單調(diào)性來證明不等式的內(nèi)容，但內(nèi)容不易過多過難．

　　第一課時(shí)

　　教學(xué)目標(biāo)

　　1．掌握證明不等式的方法——比較法；

　　2．熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟．

　　教學(xué)重點(diǎn) 比較法的意義和基本步驟.

　　教學(xué)難點(diǎn) 常見的變形技巧.

　　教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式.

　　教學(xué)過程

　　（－）導(dǎo)入新課

　�。ń處熁顒�(dòng)）教師提問：根據(jù)前一節(jié)學(xué)過的知識(shí)，我們?nèi)绾斡脤?shí)數(shù)運(yùn)算來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)與的大�。浚�

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）學(xué)生思考問題，找學(xué)生甲口答問題．

　�。▽W(xué)生甲回答：，，，）

　�。埸c(diǎn)評(píng)］（待學(xué)生回答問題后）要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)與的大小，只要考察與的差值的符號(hào)就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法．現(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí)：用比較法證明不等式．（板書課題）

　　設(shè)計(jì)意圖：通過教師設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識(shí)，引出用比較法證明不等式，導(dǎo)入本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)．

　�。ǘ�）新課講授

　　【嘗試探索，建立新知】

　�。ń處熁顒�(dòng)）教師板書問題（證明不等式），寫出一道例題的題目

　　[問題] 求證

　　教師引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，研究不等式的證明．

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）學(xué)生研究證明不等式，嘗試完成問題．

　　（得出證明過程后）

　�。埸c(diǎn)評(píng)］

　�、偻ㄟ^確定差的符號(hào)，證明不等式的成立．這一方法，在前面比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小、比較式子的大小、證明不等式性質(zhì)就已經(jīng)用過．

　�、谕ㄟ^求差將不等問題轉(zhuǎn)化為恒等問題，將兩個(gè)一般式子大小比較轉(zhuǎn)化為一個(gè)一般式子與0的大小比較，使問題簡(jiǎn)化．

　�、劾碚撘罁�(jù)是：

　�、苡�，，知：要證明只要證；要證明這種證明不等式的方法通常叫做比較法．

　　設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生構(gòu)建用比較法證明不等式的知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生化歸的數(shù)學(xué)思想．

　　【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】

　�。ń處熁顒�(dòng)）教師板書例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)解題過程中的一些常用技巧，并點(diǎn)評(píng)．

　　例1 求證

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師引導(dǎo)下，研究問題．與教師一道完成問題的論證．

　�。鄯治觯萦杀容^法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得，將此式看作關(guān)于的二次函數(shù)，由配方法易知函數(shù)的最小值大干零，從而使問題獲證．

　　證明：∵

　　＝

　�。剑�

　　∴．

　�。埸c(diǎn)評(píng)］

　　①作差后是通過配方法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形，確定差的符號(hào)．

　�、谧鞑詈�，式于符號(hào)不易確定，配方后變形為一個(gè)完全平方式子與一個(gè)常數(shù)和的形式，使差式的符號(hào)易于確定．

　�、鄄坏仁絻蛇叺牟畹姆�號(hào)是正是負(fù)，一般需要利用不等式的性質(zhì)經(jīng)過變形后，才能判斷．

　　變形的目的全在于判斷差的符號(hào)，而不必考慮差的值是多少．至于怎樣變形，要靈活處理，例1介紹了變形的一種常用方法——配方法．

　　例2 已知都是正數(shù)，并且，求證：

　　［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號(hào)，應(yīng)通分，由分子、分母的值的符號(hào)推出差值的符合，從而得證．

　　證明：

　�。�

　�。剑�

　　因?yàn)槎际钦龜?shù)，且，所以

　�。�

　　∴．

　　即：

　　[點(diǎn)評(píng)]

　　①作差后是通過通分法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形，由分子、分母的值的符號(hào)推出差的符號(hào)．

　�、诒纠�題介紹了對(duì)差變形，確定差值的符號(hào)的一種常用方法——通分法．

　�、劾�2的結(jié)論反映了分式的一個(gè)性質(zhì)（若都是正數(shù)．

　　1．當(dāng)時(shí)，

　　2．當(dāng)時(shí)，．以后要記�。�

　　設(shè)計(jì)意圖：鞏固用比較法證明不等式的知識(shí)，學(xué)會(huì)在用比較法證明不等式中，對(duì)差式變形的常用方法——配方法、通分法．

　　【課堂練習(xí)】

　�。ń處熁顒�(dòng)）打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨(dú)立思考．完成練習(xí)；請(qǐng)甲、乙兩學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定和鼓勵(lì)，對(duì)偏差點(diǎn)撥和糾正；點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題．

　　[字幕]

　　練習(xí)：1．求證

　　2．已知，， ，d都是正數(shù)，且，求證

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演．

　　設(shè)計(jì)意圖，掌握用比較法證明不等式，并會(huì)靈活運(yùn)用配方法和通分法變形差式，確定差式符號(hào)．反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)．

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　�。ń虒W(xué)活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小結(jié)用比較法證明不等式的解題方法．

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記．

　　比較法是證明不等式的一種最基本、重要的方法．用比較法證明不等式的步驟是：作差、變形、判斷符號(hào)．要靈活掌握配方法和通分法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形．

　　設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的方法．

　�。ㄈ�）小結(jié)

　　（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)．

　�。▽W(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記．

　　本節(jié)課學(xué)習(xí)了用比較法證明不等式，用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號(hào)才是目的．掌握求差后對(duì)差式變形的常用方法：配方法和通分法．并在下節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)對(duì)差式變形的常用方法．

　　設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí)．

　�。ㄋ模┎贾米鳂I(yè)

　　1．課本作業(yè)：P16．1，2，3．

　　2．思考題：已知，求證：

　　3．研究性題：設(shè)，，都是正數(shù)，且，求證：

　　設(shè)計(jì)意圖，課本作業(yè)供學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)；思考題供學(xué)有余力的學(xué)生完成，培養(yǎng)其靈活掌握用比較法證明不等式的能力；研究性題是為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)．

　�。ㄎ澹┱n后點(diǎn)評(píng)

　　1．本節(jié)課是用比較法證明不等式的第一節(jié)課，在導(dǎo)入新課時(shí)，教師提出問題，讓學(xué)生回憶所學(xué)知識(shí)中，是如何比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的，從而引入用比較法證明不等式．這樣處理合情合理，順理成章．

　　2．在建立新知過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生分析研究證明不等式，使學(xué)生在嘗試探索過程中形成用比較法證明不等式的感性認(rèn)識(shí)．

　　3．例1，例2兩道題主要目的在于讓學(xué)生歸綱、總結(jié)，求差后對(duì)差式變形、并判斷符號(hào)的方法，以及求差比較法的步驟．在這里如何對(duì)差式變形是難點(diǎn)，應(yīng)著重解決．首先讓學(xué)生明確變形目的，減少變形的盲目性；其次是總結(jié)變形時(shí)常用方法，有利于難點(diǎn)的突破．

　　4．本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，學(xué)生獲取知識(shí)必須通過學(xué)生自己一系列思維活動(dòng)完成．教師通過啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，培養(yǎng)學(xué)生思維靈活、嚴(yán)謹(jǐn)、深刻等良好思維品質(zhì)．

　　作業(yè)答實(shí)

　　思考題：，又，獲證．

　　研究性題：

　　．

　　所以，

　　不等式的證明(一）” 不等式的證明(一）”

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